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Wir senden Ihnen das angepasste Storyboard, welches Sie final abnehmen werden. Die zweite Möglichkeit der Berechnung lautet.

Von einem Rotationskörper kann man anstelle des Volumens auch die Mantelfläche berechnen. Bei einem Kegel ist das der Flächeninhalt eines Kreissektors, bei einem Zylinder entspricht die Mantelfläche einem Rechteck.

Für die Rotation um die y-Achse brauchst du wieder die Umkehrfunktion. Die zugehörige Formel lautet dann. Damit du noch besser verstehst, wie du Volumen und Mantelfläche von einem Rotationskörper berechnest, betrachten wir nun einige Beispiele.

Gesucht sei das Rotationsvolumen von im Intervall bei Rotation um die x-Achse. Gegeben ist die Funktion , die im Intervall ein Flächenstück beschreibt.

Gesucht ist das Volumen des Rotationskörpers, der durch Drehung des Flächenstücks um die x-Achse entsteht. Dazu müssen wir nur alle Werte in die obige Formel für die Rotation um die x-Achse einsetzen und berechnen.

Gesucht sei das Rotationsvolumen von im Intervall bei Rotation um die y-Achse. Damit du den Unterschied zwischen der Drehung um die x-Achse und der Drehung um die y-Achse direkt siehst, betrachten wir noch einmal dieselbe Funktion wie im ersten Beispiel.

Drehst du sie um die y-Achse erhältst du einen ganz anderen Körper! Sein Volumen wollen wir nun auf die beiden möglichen Arten bestimmen. Um die erste Formel anwenden zu können, benötigen wir jedoch zuerst die Umkehrfunktion.

Diese ist in wohldefiniert, da in diesem Intervall streng monoton steigend ist. Aber Vorsicht: Im Allgemeinen gilt das nicht!

Wir berechnen die Umkehrfunktion, indem wir nach auflösen. Um das Rotationsvolumen auszurechnen, fehlen jetzt noch die Integralgrenzen.

Dazu berechnen wir und und erhalten. Zur Überprüfung wollen wir das Volumen auch noch mit der zweiten Formel bestimmen. Dazu benötigen wir die Ableitung.

Einsetzen ergibt. Die Betrag-Striche kannst du hier weglassen, weil in positiv ist. Also gilt. Achtung: Pass auf, dass du das bei der Berechnung nirgends vergisst!

Seine Mantelfläche lässt sich mit obiger Formel leicht berechnen. Dazu musst du zuerst die Ableitung bestimmen und in die Formel einsetzen.

In vielen Aufgaben musst du das Volumen eines zusammengesetzten Rotationskörpers berechnen. Das typische Beispiel ist ein Zylinder mit aufgesetztem Kegel.

Das Volumen dieses Rotationskörpers kannst du bestimmen, indem du zuerst das Volumen des Zylinders ausrechnest, und dann das Volumen des Kegels addierst.

In der Abbildung siehst du die Rotationsfläche, die durch in und in beschrieben wird. Willst du das zugehörige Rotationsvolumen bestimmen, berechnest du also.

Wenn du selbstständig weiter üben möchtest, findest du hier noch einige etwas schwerere Aufgaben mit Lösungen.

Werden und in angegeben, so ist die Schüssel hoch. Das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers soll betragen.

Berechne die möglichen Integrationsgrenzen, wenn eine Einheit einem Zentimeter entspricht. Der Durchmesser beträgt somit.

Als Lösung erhältst du dann. Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, setzt du alle bekannten Werte in die Formel für den Rotationskörper bei Drehung um die y-Achse ein:.

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Ein Perzentil auch genannt Prozentrang ist ein Anteil einer Verteilung. Das Perzentil eines Messwerts gibt dir Auskunft darüber, welcher Anteil der Verteilung über oder unter diesem Messwert liegt.

Betrachtest du beispielsweise das Perzentils sind. Berechnen kannst du ein Perzentil mit dieser Formel. Wie du bei der Berechnung genau vorgehen musst, besprechen wir weiter unten in diesem Artikel an einem konkreten Beispiel.

Schauen wir uns das Beispiel des Perzentils etwas genauer an. Es ist in der Statistik besonders wichtig und spielt etwa bei Signifikanztestungen eine Rolle.

Nehmen wir an, du hast in einer Aufgabe 6 von 7 Punkten erreicht. Die Verteilung der Punktzahlen der anderen Kursteilnehmenden siehst du in der unten stehenden Tabelle.

Du siehst, dass deiner erreichten Punktzahl von 6 das Perzentil zugeordnet wurde. Doch was bedeutet das nun?

Perzentile helfen uns also einzuschätzen, wie hoch oder niedrig ein Messwert im Vergleich zu den restlichen Werten einer Verteilung ist. Zuvor musst du es jedoch häufig erst noch berechnen.

In einem ersten Schritt musst du deine Messwerte dafür in eine Rangreihe bringen. Um auszuwählen, welche Methode die richtige ist, musst du zuerst berechnen.

Sehen wir uns die Berechnung einmal an der oben gezeigten Messwertreihe an. In diesem Beispiel haben wir 12 Personen untersucht und möchten nun das Perzentil bestimmen.

Die Messwerte wurden hier bereits in eine aufsteigende Rangreihe gebracht. Im nächsten Schritt rechnen wir also direkt. Wie du siehst, erhalten wir ein ganzzahliges Ergebnis, nämlich 3.

In diesem Fall lautet die Formel zur Berechnung des Perzentils so:. Setzen wir die Zahlen aus unserem Beispiel ein, erhalten wir:.

Wie gehst du nun aber vor, wenn die Berechnung von kein ganzzahliges Ergebnis liefert?

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